Einleitung
Die Draw-Force-Curve eines Bogens beschreibt die Beziehung zwischen Auszugslänge und der dafür erforderlichen Zugkraft. Sie gehört damit zu den wichtigsten mechanischen Kennlinien eines Bogensystems. Während die Fläche unter der Kraft-Auszug-Kurve die beim Spannen verrichtete Arbeit beziehungsweise die im Bogen gespeicherte elastische Energie repräsentiert, enthält der Verlauf der Kurve zusätzliche Informationen über die mechanische Charakteristik des Systems.
Eine besonders interessante, jedoch in der praktischen Betrachtung häufig unterschätzte Größe ist die erste Ableitung der Draw-Force-Curve. Wird die Zugkraft als Funktion der Auszugslänge
beschrieben, ergibt sich
Diese Größe gibt an, wie stark sich die erforderliche Zugkraft pro zusätzlicher Einheit Auszug verändert. Während F(x) somit die momentane mechanische Last beschreibt, charakterisiert dF/dx die lokale Steigung beziehungsweise die Änderungsrate dieser Last.
Für die Trainingswissenschaft eröffnet dies eine wichtige Perspektive. Ein Bogen mit 60 lb Peak Draw Weight ist nicht zwangsläufig über den gesamten Auszug mechanisch gleich anspruchsvoll. Zwei Bögen können denselben Spitzenwert besitzen, aber aufgrund unterschiedlicher Kurvenformen völlig unterschiedliche Kraftverläufe, Belastungsspitzen und Anforderungen an die neuromuskuläre Kontrolle erzeugen. Besonders bei Compound-Bögen wird dies durch Cam-Geometrie, mechanische Übersetzung und Let-off deutlich. Mathematische Modelle bestätigen, dass gerade die Cam-Kinematik die nichtlineare Form der Kraft-Auszug-Beziehung wesentlich bestimmt.
Ziel dieses Beitrags ist deshalb, systematisch herauszuarbeiten, welche mechanischen, biomechanischen und trainingswissenschaftlichen Aussagen sich aus der ersten Ableitung der Draw-Force-Curve ableiten lassen und wo die Grenzen einer solchen Interpretation liegen.
Von der Kraftkurve zur Änderungsrate
Die klassische Draw-Force-Curve beantwortet zunächst eine einfache Frage: Welche Zugkraft muss bei einer bestimmten Auszugslänge aufgebracht werden?
Formal wird jedem Auszug x eine Kraft F(x) zugeordnet. Bei einem traditionellen Bogen steigt diese Kraft häufig näherungsweise kontinuierlich mit zunehmendem Auszug an. Bei einem Compound-Bogen ist der Zusammenhang dagegen stark nichtlinear. Die Kraft kann zunächst rasch ansteigen, einen Peak erreichen und anschließend aufgrund der mechanischen Übersetzung der Cams wieder deutlich abfallen. Im Bereich des Full Draw entsteht dadurch die charakteristische Let-off-Phase.
Die erste Ableitung verändert die Fragestellung:
Sie beschreibt nicht mehr die Kraft selbst, sondern deren lokale Veränderung pro Auszugseinheit.
Ist F'(x)>0, steigt die erforderliche Zugkraft mit zunehmendem Auszug. Ist F'(x)=0, verändert sich die Kraft lokal nicht beziehungsweise die Kurve besitzt dort eine horizontale Tangente. Ist F'(x)<0, nimmt die erforderliche Zugkraft trotz weiter zunehmendem Auszug ab.
Damit erhält die Draw-Force-Curve eine zweite Informationsebene. Die Kraftkurve beschreibt die Last, ihre erste Ableitung beschreibt die Dynamik der Lastentwicklung.
Diese Unterscheidung ist fundamental. Ein Anstieg von beispielsweise 40 auf 50 lb kann mechanisch sehr unterschiedlich erlebt werden, je nachdem, ob dieser Kraftanstieg über mehrere Zoll Auszug verteilt erfolgt oder innerhalb eines sehr kleinen Auszugsintervalls. Im ersten Fall ist die lokale Steigung gering, im zweiten hoch.
Die Einheit von dF/dx macht dies unmittelbar sichtbar: Bei Verwendung von Newton und Meter lautet sie N/m. In der Bogentechnik kann alternativ lb/in verwendet werden.
Die erste Ableitung als Maß für die lokale mechanische Steifigkeit
Physikalisch besitzt dF/dx eine enge Beziehung zum Konzept der differenziellen beziehungsweise tangentialen Steifigkeit eines mechanischen Systems.
Bei einer idealisierten linearen Feder gilt
und damit
Die Steigung ist konstant. Bei einem realen Bogen ist dieses Modell jedoch nur eingeschränkt gültig. Die elastomechanischen Eigenschaften der Wurfarme, die Geometrie des Systems und insbesondere bei Compound-Bögen die Cams führen zu einem positionsabhängigen mechanischen Übersetzungsverhältnis. Deshalb ist die effektive Steifigkeit keine Konstante, sondern eine Funktion des Auszugs
Dies bedeutet nicht, dass der Bogen im klassischen Sinn einfach als lineare Feder interpretiert werden kann. Vielmehr beschreibt dF/dx, wie stark das Gesamtsystem an einem bestimmten Punkt auf eine weitere Auszugsänderung reagiert.
Ein hoher positiver Wert bedeutet: Schon eine kleine zusätzliche Auszugsbewegung erzeugt einen relativ großen Kraftanstieg.
Ein niedriger positiver Wert bedeutet: Zusätzlicher Auszug erhöht die erforderliche Kraft nur moderat.
Ein negativer Wert bedeutet: Der weitere Auszug reduziert die erforderliche Zugkraft.
Gerade diese letzte Eigenschaft ist charakteristisch für den Let-off-Bereich eines Compound-Bogens. Die negative Steigung ist somit keine Anomalie, sondern Ausdruck einer gezielt konstruierten mechanischen Übersetzung.
Was die Ableitung über die Cam-Kinematik verrät
Bei einem Compound-Bogen ist die erste Ableitung besonders aussagekräftig, weil die Kraftkurve wesentlich durch die Geometrie der Cams bestimmt wird. Die Cams verändern während des Auszugs den wirksamen Hebelarm und damit das Verhältnis zwischen Seilweg, Kraft und Drehmoment.
Vereinfacht kann man das System über das Drehmomentgleichgewicht betrachten:
Da sich der effektive Hebelarm r_eff während der Cam-Rotation verändert, verändert sich auch die notwendige Seilkraft. Die Draw-Force-Curve ist daher letztlich eine makroskopische Darstellung einer komplexen kinematisch-mechanischen Transformation.
Die erste Ableitung kann deshalb indirekte Hinweise darauf geben, wie abrupt sich die mechanische Übersetzung über den Auszug verändert.
Ein ausgeprägter positiver Peak von dF/dx weist auf einen Bereich hin, in dem die erforderliche Zugkraft sehr schnell zunimmt. Ein stark negativer Bereich weist auf eine schnelle Entlastung beziehungsweise einen ausgeprägten Let-off hin. Ein nahezu horizontaler Abschnitt der Kraftkurve entspricht dagegen einer geringen ersten Ableitung.
Damit kann die erste Ableitung als eine Art „Landkarte“ der mechanischen Übergänge interpretiert werden.
Die exakte Rekonstruktion der Cam-Geometrie ist daraus allerdings nicht möglich. Unterschiedliche mechanische Konstruktionen können ähnliche Kraftkurven erzeugen. Die Ableitung liefert deshalb charakteristische Informationen über das System, aber keine eindeutige Identifikation seiner inneren Geometrie.
Peak Draw Weight und maximale Steigung sind unterschiedliche Größen
Eine der wichtigsten praktischen Konsequenzen besteht darin, Peak Draw Weight und maximale Steigung nicht miteinander zu verwechseln.
Der Peak Draw Weight beschreibt den maximal erreichten Kraftwert:
Die erste Ableitung beschreibt dagegen die maximale Änderungsrate:
Ein Bogen kann deshalb einen relativ hohen Peak Draw Weight besitzen, aber eine moderat ansteigende Kraftkurve aufweisen. Umgekehrt kann ein Bogen mit niedrigerem Peak Draw Weight einen sehr abrupten Kraftanstieg besitzen.
Für die Trainingssteuerung bedeutet das: Die maximale Kraft eines Bogens und die Geschwindigkeit, mit der diese Kraft aufgebaut werden muss, sind zwei verschiedene Belastungsdimensionen.
Das ist biomechanisch relevant, weil der menschliche Bewegungsapparat nicht nur auf die Höhe einer äußeren Kraft reagiert, sondern auch darauf, wie schnell sich Gelenkmomente verändern. Die tatsächliche Belastung eines Muskels oder Gelenks hängt dabei zusätzlich von Gelenkwinkeln, Momentarmen, Bewegungsstrategie und Koordination ab.
Die erste Ableitung des Bogens liefert somit einen mechanischen Input, aber noch keine direkte Aussage über die interne Muskelkraft.
Verbindung zur Biomechanik des Schützen
Hier liegt eine zentrale Interpretationsgrenze.
Die am Seil gemessene Zugkraft ist nicht identisch mit der Kraft eines einzelnen Muskels. Zwischen beiden liegen Schultergürtel, Glenohumeralgelenk, Ellenbogen, Handgelenk, Rumpf und die jeweiligen externen und internen Momentarme.
Eine Veränderung der äußeren Zugkraft verändert zwar grundsätzlich die mechanischen Anforderungen, doch die daraus entstehenden Gelenkmomente können durch eine Veränderung der Körperposition teilweise kompensiert oder sogar überproportional verändert werden.
Für die Schulter kann vereinfacht gelten:
wobei M das Gelenkmoment, F die externe Kraft und r der jeweilige Momentarm ist.
Damit kann eine identische Zugkraft bei zwei unterschiedlichen Körperpositionen zu unterschiedlichen Gelenkmomenten führen.
Die erste Ableitung dF/dx muss deshalb als Eigenschaft des externen mechanischen Widerstands verstanden werden, nicht als direkte Messgröße der Muskelbelastung.
Diese Unterscheidung ist für die Trainingswissenschaft entscheidend. EMG-Untersuchungen zeigen beispielsweise, dass unterschiedliche Draw Forces mit Veränderungen der Aktivierung bestimmter Muskeln einhergehen können. Bei Compound-Bögen wurden insbesondere Unterschiede in der Aktivierung des posterioren Deltoids sowie der Unterarmmuskulatur beobachtet; gleichzeitig waren Veränderungen bestimmter Gelenkwinkel und der posturalen Stabilität wesentlich weniger ausgeprägt.
Die mechanische Kurve und die biologische Antwort sind daher gekoppelt, aber nicht identisch.
Positive, null und negative Steigung als unterschiedliche Belastungsphasen
Die erste Ableitung erlaubt eine funktionelle Segmentierung des Auszugs.
Im Bereich hoher positiver Steigung befindet sich das System in einer Kraftaufbauphase. Der Schütze muss nicht nur eine hohe Kraft erzeugen, sondern auf einen schnell zunehmenden Widerstand reagieren. Dies stellt hohe Anforderungen an Kraftfähigkeit, Koordination und Bewegungsorganisation.
Im Bereich geringer Steigung verändert sich die externe Last nur langsam. Der Schütze kann die Bewegung vergleichsweise kontinuierlich kontrollieren.
Wenn die erste Ableitung null erreicht, befindet sich die Kraftkurve lokal in einem Plateau oder an einem Extrempunkt. Beim Übergang zum Let-off wird anschließend eine negative Steigung erreicht.
Dieser Bereich ist aus trainingswissenschaftlicher Sicht besonders interessant, weil der mechanische Widerstand trotz weiterer Auszugsbewegung abnimmt. Beim Compound-Bogen reduziert sich dadurch die notwendige Haltekraft im Full Draw erheblich. Die Kraft-Auszug-Kurve eines Compound-Bogens kann deshalb deutlich anders gestaltet werden als die eines traditionellen Bogens.
Die Ableitung macht diesen Übergang mathematisch explizit: Der Wechsel von positiver zu negativer Steigung kennzeichnet den Bereich, in dem die mechanische Lastentwicklung ihre Richtung verändert.
Zweite Ableitung: Wo verändert sich die Steigung selbst?
Obwohl der Schwerpunkt auf der ersten Ableitung liegt, ergibt sich eine wichtige Erweiterung durch die zweite Ableitung:
Sie beschreibt, wie sich die Steigung selbst verändert.
Damit kann beispielsweise unterschieden werden, ob die Kraft zunehmend schneller oder zunehmend langsamer ansteigt. Für die Interpretation von Übergängen ist dies besonders wertvoll.
Die erste Ableitung beantwortet:
Wie schnell verändert sich die Kraft?
Die zweite Ableitung beantwortet:
Wie schnell verändert sich diese Änderungsrate?
Damit lassen sich beispielsweise abrupte Übergänge in der Cam-Wirkung oder besonders ausgeprägte Änderungen im Bereich von Peak, Let-off und Wall besser charakterisieren.
Für eine rein qualitative Analyse reicht häufig die erste Ableitung. Für eine quantitative Analyse komplexer Compound-Systeme kann die zweite Ableitung jedoch helfen, Übergangspunkte objektiver zu identifizieren.
Bedeutung für Energie und mechanische Arbeit
Die erste Ableitung darf nicht mit der gespeicherten Energie verwechselt werden. Die gespeicherte Energie ergibt sich aus der Integration der Kraft über den Weg:
Das ist die Fläche unter der Draw-Force-Curve. Dieses Prinzip wird auch in standardisierten Messverfahren zur Bestimmung von Force-Draw- und Let-down-Kurven verwendet.
Die erste Ableitung liefert dagegen keine Energiegröße. Sie beschreibt die lokale Form der Kurve.
Gerade deshalb sind beide Informationen komplementär:
Die Kraftkurve beschreibt die Lastverteilung.
Die erste Ableitung beschreibt die Geschwindigkeit der Lastveränderung.
Die Fläche unter der Kurve beschreibt die verrichtete mechanische Arbeit beziehungsweise gespeicherte Energie.
Damit kann ein Bogen gleichzeitig eine hohe gespeicherte Energie und eine hohe lokale Kraftanstiegsrate besitzen. Diese Eigenschaften sind nicht zwangsläufig miteinander identisch.
Die praktische Bedeutung ist erheblich: Eine Optimierung auf maximale gespeicherte Energie muss nicht automatisch die beste biomechanische oder trainingswissenschaftliche Lösung darstellen. Die Literatur zur Modellierung von Compound-Bögen zeigt gerade, dass Veränderungen der Kurvenform die Energiespeicherung beeinflussen können.
Trainingswissenschaftliche Interpretation
Aus Sicht der Trainingslehre kann die erste Ableitung als Beschreibung des mechanischen Widerstandsprofils verstanden werden.
Das ist vergleichbar mit der Betrachtung eines Krafttrainingsgeräts. Zwei Geräte können denselben maximalen Widerstand besitzen, aber unterschiedliche Widerstandsprofile über den Bewegungsweg erzeugen. Für den Organismus bedeutet das unterschiedliche Anforderungen an Kraftentwicklung, Gelenkposition, Koordination und Ermüdungsmanagement.
Beim Bogenschießen ist diese Perspektive besonders relevant, weil der Bewegungsablauf nicht ausschließlich dynamisch ist. Nach dem Ziehen folgt eine Phase des Zielens und Haltens. Untersuchungen an leistungsstarken Recurve-Schützen zeigen, dass Draw Force, posturale Stabilität und zeitliche Faktoren gemeinsam mit der Schussleistung zusammenhängen.
Ein Trainingsprogramm sollte deshalb nicht nur fragen: „Wie viel Zuggewicht kann der Athlet bewältigen?“
Die präzisere Frage lautet:
Wie kann der Athlet den gesamten Widerstandsverlauf kontrollieren, ohne dass sich Technik, Gelenkposition, Zielstabilität oder Bewegungsökonomie verschlechtern?
Hier entsteht eine Verbindung zwischen maximaler Kraft, Kraftausdauer, isometrischer Leistungsfähigkeit, neuromuskulärer Koordination und technischer Kompetenz.
Praktische Analyse einer Draw-Force-Curve
Für die Praxis empfiehlt sich eine Betrachtung in mehreren Ebenen. Zunächst wird die originale Kraft-Auszug-Kurve aufgenommen. Anschließend wird aus den Messdaten numerisch die erste Ableitung berechnet.
Dabei ist Vorsicht geboten: Differentiation verstärkt Messrauschen. Eine scheinbar starke Schwankung von dF/dx kann deshalb lediglich ein Artefakt der Messung sein. Eine robuste Analyse benötigt ausreichend hohe Messauflösung, reproduzierbare Auszugsgeschwindigkeit und geeignete Glättungsverfahren.
Besonders aussagekräftig sind nicht einzelne verrauschte Extremwerte, sondern stabile strukturelle Merkmale: der maximale positive Anstieg, der Übergang durch eine nahezu horizontale Steigung, der negative Let-off-Bereich und die Steilheit unmittelbar vor dem mechanischen Wall.
Damit lässt sich beispielsweise zwischen einem progressiven und einem aggressiveren Kraftaufbau unterscheiden.
Für das Training bedeutet dies, dass die Wahl eines Bogens nicht allein anhand des nominellen Zuggewichts erfolgen sollte. Relevant ist vielmehr die Kombination aus Peak Force, Holding Force, Draw Length, Kurvenform und Änderungsrate der Kraft.
Kritische Grenzen der Methode
Die erste Ableitung ist ein leistungsfähiges Analyseinstrument, aber keine vollständige biomechanische Diagnostik.
Erstens beschreibt sie ausschließlich die externe Mechanik des Bogens. Sie sagt nicht direkt, welche Muskeln wie stark aktiviert werden.
Zweitens hängt die interne Belastung von der Technik des Schützen ab. Zwei Personen können denselben Bogen mit derselben Draw-Force-Curve verwenden und dennoch völlig unterschiedliche Gelenkmomente erzeugen.
Drittens ist die Ableitung empfindlich gegenüber Messfehlern. Je stärker die Daten differenziert werden, desto stärker können Rauschen und Messauflösung die Ergebnisse beeinflussen.
Viertens ist die Draw-Force-Curve selbst abhängig von der Konfiguration des Systems. Draw Length, Cam-Modul, Limb-Setup, Sehnen- und Kabelzustand sowie weitere Einstellparameter können die Kurve verändern.
Schließlich darf die mechanische Analyse nicht mit einer direkten Aussage über Schussleistung gleichgesetzt werden. Leistungsfähigkeit entsteht aus dem Zusammenwirken von mechanischem System, Athlet, Technik, Wahrnehmung, motorischer Kontrolle und Ermüdungszustand.
Hunters'Best Interpretation
Die erste Ableitung der Draw-Force-Curve erweitert die Analyse eines Bogens um eine entscheidende Informationsebene. Während die Kraft-Auszug-Kurve beschreibt, welche Kraft bei einem bestimmten Auszug erforderlich ist, beschreibt ihre erste Ableitung, wie schnell sich diese Kraft mit zunehmendem Auszug verändert.
Mathematisch entspricht
der lokalen Steigung der Kraft-Auszug-Kurve und kann als positionsabhängige effektive Steifigkeit beziehungsweise als Maß für die lokale Veränderungsrate des mechanischen Widerstands interpretiert werden.
Für traditionelle Bögen kann die Steigung relativ kontinuierlich positiv sein. Bei Compound-Bögen offenbart die Ableitung dagegen besonders deutlich die komplexe mechanische Charakteristik des Systems: Kraftaufbau, Peak-Bereich, Let-off und Übergang zum Full Draw lassen sich als unterschiedliche Bereiche der Änderungsrate beschreiben.
Für die Trainingslehre ist dabei vor allem eine Erkenntnis relevant: Peak Draw Weight allein beschreibt die Belastung eines Bogens unvollständig. Entscheidend ist auch, wie schnell und in welchem Abschnitt des Bewegungsweges diese Kraft erreicht wird.
Die erste Ableitung verbindet damit Physik und Trainingswissenschaft. Sie macht aus einer statischen Kraftangabe ein dynamisches Widerstandsprofil. Gleichzeitig muss ihre Interpretation biomechanisch eingebettet werden, weil externe Zugkraft, Gelenkmoment und muskuläre Aktivierung nicht identisch sind.
Der eigentliche Wert der Methode liegt daher nicht darin, eine einzelne Kennzahl zu erzeugen. Ihr Wert besteht darin, die mechanische Struktur des Widerstands sichtbar zu machen. In Kombination mit Bewegungsanalyse, EMG, Kraftmessplatten, Gelenkwinkelmessung und Leistungsdaten kann daraus ein wesentlich vollständigeres Modell der Interaktion zwischen Bogen, Athlet und Bewegung entstehen.
Für eine moderne, technisch orientierte Trainingsanalyse ist dies die entscheidende Perspektive
Nicht nur die Frage, wie viel Kraft ein System verlangt, sondern ebenso die Frage, wie sich diese Kraft über den Bewegungsweg entwickelt.
Quellenliste
- Tiermas, M. (2016). An advanced model of the round-wheel compound bow. Meccanica, 51, 1201–1207. Das Modell beschreibt die nichtlineare Kraft-Auszug-Beziehung eines Compound-Bogens und vergleicht mathematische Vorhersagen mit experimentell gemessenen Kurven.
- Tiermas, M. (2017). The round-wheel compound bow model revisited: a new extension. Sports Engineering. Die Arbeit untersucht die Form der Force-Draw-Curve, Energiespeicherung und theoretische Grenzen der Kurvengestaltung.
- Tiermas, M. (2017). A model of the twin-cam compound bow with cam design options. Meccanica, 52, 421–429. Relevant für den Zusammenhang zwischen Cam-Geometrie, Kinematik und nichtlinearer Force-Draw-Curve.
- ASTM International. ASTM F1832-07(2017): Standard Test Method for Determining the Force-Draw and Let-Down Curves for Archery Bows. Der Standard beschreibt die experimentelle Ermittlung der Kraft-Auszug- und Let-down-Kurve sowie die Bestimmung der gespeicherten Energie über die Fläche unter der Kurve.
- Spratford, W., & Campbell, R. (2017). Postural stability, clicker reaction time and bow draw force predict performance in elite recurve archery. European Journal of Sport Science, 17, 539–545.
- Wu, T.-T. (2025). Biomechanical Analysis of Compound Bow Archers under Different Draw Forces. Untersuchung der Zusammenhänge zwischen Draw Force, EMG-Aktivierung, Gelenkkinematik, posturaler Stabilität und Schussleistung bei Compound-Schützen.
- Pukhov, A. M., & Tarnakov, D. P. (2023). Features of strength and electromyographic characteristics at maximum voluntary contraction and shooting from a recurve bow. Untersuchung von Zugkraft, maximaler willkürlicher Kontraktion und EMG-Mustern bei Recurve-Schützen.
