Einleitung
Die Draw-Force-Curve eines Bogens ist mehr als eine grafische Darstellung des Zuggewichts. Sie beschreibt die mechanische Beziehung zwischen Auszugslänge und erforderlicher Zugkraft und bildet damit einen zentralen Zusammenhang zwischen Konstruktion, Energieübertragung und Interaktion zwischen Bogen und Schütze. Bei Compound-Bögen ist diese Beziehung aufgrund der Kombination aus elastischer Verformung der Wurfarme und der kinematischen Übersetzung der Cams stark nichtlinear. Mathematische Modelle zeigen entsprechend, dass insbesondere die Cam-Geometrie die Form der Force-Draw-Curve wesentlich beeinflusst.
Die erste Ableitung
beschreibt die lokale Änderung der Zugkraft pro zusätzlicher Auszugseinheit. Sie beantwortet somit die Frage, wie schnell der mechanische Widerstand zunimmt oder abnimmt.
Die zweite Ableitung
geht eine Ebene tiefer. Sie beschreibt, wie sich diese Kraftänderungsrate selbst verändert. Vereinfacht gesagt beantwortet die erste Ableitung die Frage: „Wie steil ist die Kurve?“ Die zweite Ableitung beantwortet dagegen: „Wird die Kurve gerade steiler oder gerade flacher?“
Diese scheinbar kleine mathematische Erweiterung besitzt erhebliche mechanische Aussagekraft. Sie erlaubt insbesondere die Analyse von Übergängen innerhalb der Kraftkurve, der zunehmenden oder abnehmenden mechanischen Steifigkeit, der Charakteristik des Kraftaufbaus, des Übergangs in den Peak-Bereich sowie der Form von Let-off und Wall.
Für die Trainingswissenschaft entsteht dadurch eine interessante Perspektive: Nicht allein die Höhe des Widerstands, sondern auch die Krümmung des Widerstandsprofils kann einen Einfluss darauf haben, wie sich eine Bewegung mechanisch und neuromuskulär organisiert.
Mathematische Grundlage: Von Kraft zu Krümmung
Ausgangspunkt ist die Kraft-Auszug-Funktion
Die erste Ableitung
beschreibt die Steigung der Kurve.
Die zweite Ableitung
beschreibt die Veränderung dieser Steigung.
Damit lassen sich drei grundlegende Situationen unterscheiden.
Wenn
nimmt die Steigung der Kraftkurve zu. Der Kraftanstieg wird also zunehmend steiler.
Wenn
nimmt die Steigung ab. Der Kraftanstieg wird flacher beziehungsweise eine vorhandene Entlastung wird weniger stark.
liegt lokal ein Wendepunkt der Kraftkurve vor, sofern sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung ändert.
Diese Definition muss allerdings präzise interpretiert werden. Ein Wendepunkt bedeutet nicht automatisch einen Peak oder ein mechanisches Extremum. Ein Peak der Zugkraft wird primär durch
identifiziert. Die zweite Ableitung bestimmt anschließend, ob die Kurve dort beispielsweise nach unten oder oben gekrümmt ist.
Für einen lokalen Kraftpeak gilt typischerweise:
Für ein lokales Kraftminimum gilt entsprechend:
Diese Kombination ist für die Analyse eines Compound-Bogens besonders interessant, weil Peak Draw Weight und Valley beziehungsweise Holding Force unterschiedliche Extrembereiche der Kraftkurve darstellen.
Die zweite Ableitung als Maß für die Veränderung der effektiven Steifigkeit
Bereits die erste Ableitung kann als positionsabhängige differentielle Steifigkeit interpretiert werden:
Daraus folgt unmittelbar:
Die zweite Ableitung beschreibt somit die Änderung der effektiven Steifigkeit entlang des Auszugs.
Dies ist mechanisch bedeutsam, weil ein realer Bogen kein lineares Federsystem darstellt. Bei einer idealen linearen Feder wäre
und damit
Die Steifigkeit bliebe konstant.
Bei einem realen Bogen ist die Situation komplexer. Die Wurfarme verändern ihre Geometrie, ihre elastische Verformung verändert sich mit dem Auszug und bei einem Compound-System kommt zusätzlich die veränderliche mechanische Übersetzung der Cams hinzu. Modelle von Compound-Bögen berücksichtigen deshalb sowohl die Limb-Deformation als auch die Cam-Geometrie, um die nichtlineare Kraft-Auszug-Beziehung abzubilden.
Die zweite Ableitung liefert in diesem Zusammenhang eine besonders interessante Information: Sie zeigt, wie stark sich die mechanische Charakteristik des Systems über den Bewegungsweg verändert.
Ein hoher positiver Wert bedeutet beispielsweise, dass der Widerstand nicht nur steigt, sondern dass dieser Anstieg selbst zunehmend schneller erfolgt. Genau diese Eigenschaft ist mechanisch etwas anderes als lediglich ein hoher Draw Weight.
Der Unterschied zwischen hoher Kraft und hoher Krümmung
Ein zentrales Missverständnis besteht darin, hohe Kraft und hohe zweite Ableitung gleichzusetzen.
Das sind vollkommen unterschiedliche Größen.
Ein Bogen kann bei 28 Zoll beispielsweise eine sehr hohe Zugkraft besitzen, während die Kraftkurve dort nahezu horizontal verläuft. Dann ist die erste Ableitung klein und die zweite Ableitung möglicherweise ebenfalls gering.
Umgekehrt kann ein Bogen bei einer deutlich niedrigeren Kraft eine sehr starke Krümmung aufweisen. In diesem Bereich verändert sich die Steigung schnell.
Damit entstehen drei voneinander unterscheidbare mechanische Dimensionen:
beschreibt die absolute Last,
beschreibt die Änderungsrate der Last,
und
beschreibt die Veränderung dieser Änderungsrate.
Für eine technische Analyse ist diese Hierarchie ausgesprochen wertvoll. Sie verhindert, dass der Peak Draw Weight als alleinige Beschreibung des mechanischen Verhaltens eines Bogens verwendet wird.
Was die zweite Ableitung über den Kraftaufbau aussagt
Betrachtet man den Beginn des Auszugs eines Compound-Bogens, steigt die Zugkraft typischerweise zunächst an. Entscheidend ist nun nicht nur, wie stark sie steigt, sondern ob dieser Anstieg zunehmend steiler wird.
Bei
beschleunigt gewissermaßen der Kraftanstieg. Jeder zusätzliche Auszugsabschnitt erzeugt einen größeren Kraftzuwachs als der vorherige.
Das kann als progressives Widerstandsverhalten bezeichnet werden.
Sinkt die zweite Ableitung dagegen in Richtung null, wird der Kraftanstieg zunehmend gleichmäßiger. Wird sie negativ, beginnt die Steigung abzunehmen.
Damit lässt sich die qualitative Form einer Draw-Force-Curve mathematisch präziser beschreiben als allein durch visuelle Betrachtung.
Gerade bei unterschiedlichen Cam-Designs ist diese Information relevant. Wissenschaftliche Modelle zeigen, dass die Form und Dimensionierung der Cams die nichtlineare Force-Draw-Beziehung gezielt beeinflussen können.
Die zweite Ableitung ist daher indirekt auch ein Indikator dafür, wie abrupt sich die mechanische Übersetzung eines Compound-Systems entlang des Auszugs verändert.
Peak Draw Weight: Was die zweite Ableitung wirklich beiträgt
Der Peak Draw Weight wird durch das Maximum der Funktion
definiert.
Mathematisch liegt dieses Maximum dort, wo
und
Die zweite Ableitung liefert hier somit eine zusätzliche Information: Sie charakterisiert die lokale Form des Peaks.
Ein stark negatives (F“(x)) in der Umgebung des Peaks bedeutet, dass die Kurve dort relativ stark gekrümmt ist. Ein Wert nahe null bedeutet dagegen einen flacheren Peak.
Das hat praktische Konsequenzen.
Ein breiter, flacher Peak bedeutet, dass sich die Zugkraft über einen gewissen Auszugsbereich nur relativ wenig verändert. Ein schmaler, ausgeprägter Peak zeigt dagegen eine deutlich stärkere lokale Veränderung der mechanischen Charakteristik.
Aus Sicht der Schießbewegung kann dies die Wahrnehmung des Übergangs in den Let-off-Bereich beeinflussen. Aus Sicht des Trainings ist wiederum relevant, dass ein mechanisch abrupter Übergang höhere Anforderungen an die Bewegungssteuerung stellen kann als ein gradueller Übergang.
Dabei muss allerdings zwischen subjektivem „aggressivem“ Cam-Gefühl und objektiver mechanischer Charakteristik unterschieden werden.
Let-off und Valley als Wendepunktproblem
Besonders interessant wird die zweite Ableitung im Bereich des Let-off.
Bei einem Compound-Bogen steigt die Kraft zunächst an, erreicht einen Peak und fällt anschließend in Richtung Valley beziehungsweise Holding Force ab. Diese charakteristische nichtlineare Kraftkurve wird durch die Cam-Kinematik ermöglicht.
Im Übergang vom Kraftanstieg zur Entlastung verändert sich die erste Ableitung:
geht über
in
Die zweite Ableitung hilft dabei, die Form dieses Übergangs zu charakterisieren.
Ein stark ausgeprägtes negatives (F“(x)) in diesem Bereich bedeutet eine schnelle Reduktion der Steigung. Die Kurve geht damit relativ abrupt von einem zunehmenden Kraftanstieg in eine Entlastungsphase über.
Ein gradueller Übergang weist dagegen auf eine weniger abrupte Änderung der Kraftcharakteristik hin.
Das ist eine wichtige Unterscheidung: Let-off ist nicht nur eine Kraftreduktion, sondern ein dynamischer Wechsel der Widerstandscharakteristik.
Das Valley: Nicht nur niedrige Kraft, sondern lokale Krümmung
Am Ende der Let-off-Phase kann die Draw-Force-Curve ein lokales Minimum erreichen. Dort gilt näherungsweise:
und
Die zweite Ableitung beschreibt nun die Krümmung des Valleys.
Ein flaches Valley bedeutet, dass sich die Kraft in einem gewissen Bereich nur geringfügig verändert. Ein stark gekrümmtes Valley bedeutet dagegen, dass kleine Veränderungen der Auszugslänge größere Veränderungen der Holding Force verursachen können.
Diese Unterscheidung ist für die Praxis relevant, weil die tatsächliche Auszugslänge eines Schützen niemals vollkommen konstant ist. Bewegungen des Schultergürtels, Veränderungen der Körperhaltung, Atembewegungen und neuromuskuläre Schwankungen führen zu kleinen Positionsänderungen.
Ein steiles Valley kann deshalb eine höhere Empfindlichkeit gegenüber solchen Auszugsänderungen erzeugen als ein breiteres, flacheres Valley.
Das bedeutet nicht automatisch, dass ein flaches Valley „besser“ ist. Es bedeutet lediglich, dass die mechanische Toleranz gegenüber kleinen Positionsänderungen unterschiedlich sein kann.
Die Wall und die Bedeutung hoher positiver Krümmung
Der Bereich nach dem Valley ist besonders interessant.
Bei vielen Compound-Bögen steigt die Zugkraft am Ende des Auszugs wieder an. Die mechanische Charakteristik kann dort sehr steil werden. Umgangssprachlich wird dieser Bereich häufig als „Wall“ beschrieben.
Mathematisch kann ein solcher Bereich durch eine stark zunehmende erste Ableitung und unter Umständen durch eine hohe positive zweite Ableitung charakterisiert werden:
und
Das bedeutet: Die Kraft steigt nicht nur, sondern der Kraftanstieg selbst nimmt zu.
Mechanisch entspricht dies einem stark progressiven Widerstandsbereich.
Für den Schützen kann ein solcher Bereich eine Art mechanische Positionsbegrenzung erzeugen. Eine kleine zusätzliche Auszugsbewegung kann mit einer überproportionalen Zunahme der erforderlichen Kraft verbunden sein.
Hier zeigt sich eine wichtige Verbindung zwischen Maschinenbau und Biomechanik: Die Geometrie des mechanischen Systems erzeugt einen Widerstandsgradienten, der wiederum die Bewegung des menschlichen Systems beeinflusst.
Verbindung zur Cam-Kinematik
Die zweite Ableitung besitzt ihren größten technischen Wert wahrscheinlich dort, wo sie mit der Cam-Kinematik verbunden wird.
Die Zugkraft eines Compound-Bogens ist nicht einfach eine Funktion der Limb-Biegung. Sie entsteht aus dem Zusammenspiel von elastischer Verformung, Seilführung, Cam-Rotation und mechanischen Hebelverhältnissen. Mathematische Modelle verwenden deshalb explizit die Cam-Geometrie, um die Force-Draw-Curve vorherzusagen.
Vereinfacht lässt sich die Situation über einen effektiven mechanischen Übersetzungsfaktor (R(x)) beschreiben. Dieser kann als positionsabhängige Beziehung zwischen der Kraft am elastischen System und der vom Schützen aufzubringenden Seilkraft betrachtet werden.
Verändert sich (R(x)) stark, verändert sich auch die Steigung der Kraftkurve.
Noch interessanter ist jedoch die Veränderung dieser Veränderung:
Damit erhält man einen indirekten Hinweis darauf, wo sich die mechanische Übersetzung besonders schnell verändert.
Die zweite Ableitung rekonstruiert die Cam-Geometrie allerdings nicht eindeutig. Unterschiedliche Kombinationen aus Limb-Eigenschaften, Cam-Profil, Seilführung und Systemparametern können ähnliche Kurven erzeugen. Sie ist deshalb ein Diagnose- und Analyseparameter, aber kein vollständiger Ersatz für eine kinematische Modellierung.
Biomechanische Bedeutung: Warum Krümmung nicht gleich Muskelbelastung ist
Die Übertragung auf den menschlichen Körper muss besonders sorgfältig erfolgen.
Die am Seil gemessene Kraft ist eine externe Größe. Die interne Muskelkraft ergibt sich erst aus dem Zusammenspiel von äußerer Kraft, Gelenkgeometrie, Momentarmen und mehreren Muskeln.
Vereinfacht gilt für ein Gelenk:
Verändert sich der Gelenkwinkel, verändert sich typischerweise auch der Momentarm (r). Deshalb kann eine bestimmte Änderung der Zugkraft zu unterschiedlichen Gelenkmomenten führen.
Die zweite Ableitung der Draw-Force-Curve sagt daher nicht unmittelbar:
„Der Muskel wird um Betrag X stärker belastet.“
Sie sagt vielmehr:
„Der externe mechanische Widerstand verändert seine Steigung mit einer bestimmten Rate.“
Wie der Organismus darauf reagiert, hängt anschließend von der individuellen Technik ab.
Aktuelle Untersuchungen zu Compound-Schützen zeigen, dass unterschiedliche Draw Forces tatsächlich mit Veränderungen der Aktivierung bestimmter Muskeln, unter anderem des posterioren Deltoids und der Unterarmmuskulatur, verbunden sein können.
Die biomechanische Interpretation bleibt jedoch eine Systemfrage: Bogenmechanik, Gelenkkinematik und neuromuskuläre Aktivierung müssen gemeinsam betrachtet werden.
Trainingswissenschaft: Zweite Ableitung als Widerstandsdynamik
Für die Trainingslehre ergibt sich daraus ein interessantes Konzept: Die zweite Ableitung kann als Kennzahl für die Widerstandsdynamik eines mechanischen Trainings- oder Sportgeräts verstanden werden.
Traditionell wird ein Bogen vor allem anhand seines Zuggewichts charakterisiert. Eine technisch vollständigere Beschreibung umfasst jedoch mindestens drei Ebenen:
für die absolute Kraft,
für die Änderung der Kraft und
für die Änderung der Kraftänderung.
Damit entsteht ein hierarchisches Belastungsmodell.
Der erste Parameter beschreibt, wie hoch die Last ist.
Der zweite beschreibt, wie schnell sie sich verändert.
Der dritte beschreibt, wie abrupt sich dieses Veränderungsverhalten selbst verändert.
Für das Training bedeutet dies, dass ein Athlet nicht lediglich lernen muss, eine bestimmte Kraft zu überwinden. Er muss eine positionsabhängige und teilweise stark nichtlineare Widerstandsfunktion motorisch kontrollieren.
Das ist insbesondere relevant, wenn unterschiedliche Bögen, Zuggewichte oder Cam-Profile miteinander verglichen werden.
Technische Übergänge und potenzielle „Kipppunkte“
Der Begriff „Kipppunkt“ ist bei einer mechanischen Kurve vorsichtig zu verwenden. Mathematisch handelt es sich nicht um einen physiologischen Kipppunkt, sondern zunächst um einen Bereich, in dem sich die Charakteristik der Kurve deutlich verändert.
Besonders interessant sind Bereiche, in denen
und gleichzeitig ein Vorzeichenwechsel auftritt.
Solche Wendepunkte markieren einen Wechsel der Krümmung.
In einem Compound-System können solche Bereiche mit Veränderungen der mechanischen Übersetzung korrespondieren. Sie können deshalb als strukturelle Übergangspunkte der Force-Draw-Curve betrachtet werden.
Für die Konstruktion und Abstimmung eines Bogens ist dies relevant, weil die Kurvenform nicht ausschließlich durch Peak und Holding Force definiert wird. Wissenschaftliche Modellierungen zeigen, dass Veränderungen der Cam-Parameter die Form der Force-Draw-Curve und damit auch die energetischen Eigenschaften eines Compound-Bogens verändern können.
Messmethodische Problematik: Differentiation verstärkt Fehler
Die theoretische Eleganz der zweiten Ableitung darf nicht darüber hinwegtäuschen, dass sie experimentell erheblich schwieriger zuverlässig zu bestimmen ist als die ursprüngliche Kraftkurve.
Angenommen, die gemessene Kraft lautet
wobei epsilon(x) das Messrauschen darstellt.
Bei der ersten Ableitung entsteht:
[
Bei der zweiten:
Bereits kleine Messfehler können dadurch stark verstärkt werden.
Eine scheinbar ausgeprägte Krümmung kann somit tatsächlich aus Sensorrauschen, ungleichmäßiger Auszugsgeschwindigkeit, begrenzter Auflösung oder numerischer Differentiation resultieren.
Eine seriöse Analyse benötigt deshalb eine ausreichend hohe Messauflösung und eine kontrollierte Datenverarbeitung. Glättungsverfahren können erforderlich sein, dürfen jedoch selbst keine künstlichen Wendepunkte erzeugen.
Besonders problematisch ist die Verwendung weniger diskreter Messpunkte, beispielsweise nur einer Kraftmessung pro Zoll. Für eine grobe Draw-Force-Curve kann dies ausreichend sein; für die zuverlässige Analyse von F“(x) ist eine wesentlich feinere Datengrundlage vorzuziehen.
Was die zweite Ableitung nicht leisten kann
Die zweite Ableitung ist ein leistungsfähiges Werkzeug, aber kein universeller Belastungsindikator.
Sie kann nicht direkt bestimmen, wie hoch die Muskelaktivierung eines Schützen ist. Sie kann keine Verletzungswahrscheinlichkeit aus einer einzelnen Kurvenform ableiten. Sie kann auch nicht isoliert feststellen, welcher Bogen für einen bestimmten Athleten optimal ist.
Ebenso wenig lässt sich aus einer hohen zweiten Ableitung automatisch auf eine „schlechtere“ oder „bessere“ Konstruktion schließen.
Ein aggressiver Kraftübergang kann konstruktiv gewollt sein. Ein sanfter Verlauf kann ergonomisch günstig erscheinen, muss aber nicht automatisch energetisch optimal sein. Die Konstruktion eines Compound-Bogens ist immer ein Optimierungsproblem zwischen Energiespeicherung, mechanischer Übersetzung, Auszugsgefühl, Holding Force, Geometrie und praktischer Schießbarkeit. Modellstudien zeigen entsprechend, dass Veränderungen der Force-Draw-Kurve mit Veränderungen der theoretisch speicherbaren Energie verbunden sind.
Die zweite Ableitung liefert deshalb keine Wertung. Sie liefert Strukturinformation.
Praktische Anwendung in der Analyse
Für eine technisch anspruchsvolle Bogendiagnostik sollte zunächst die Kraft-Auszug-Kurve mit hoher räumlicher Auflösung aufgenommen werden. Erst anschließend sollte die numerische Differentiation erfolgen.
Interessant sind dabei insbesondere die Bereiche um den Beginn des Kraftanstiegs, den Übergang zum Peak, den Peak selbst, den Let-off, das Valley und den Wall.
Die Analyse kann anschließend beispielsweise untersuchen, ob ein Kraftanstieg progressiv oder degressiv ist, wie abrupt der Übergang in den Peak erfolgt, wie stark die Kraft während des Let-off abfällt und wie ausgeprägt die erneute Kraftzunahme am Wall ist.
Noch aussagekräftiger wird die Untersuchung, wenn die mechanischen Daten mit biomechanischen Messungen kombiniert werden. Denkbar sind Motion Capture, Gelenkwinkelmessung, EMG und Kraftmessplatten. Die Untersuchung unterschiedlicher Draw Forces bei Compound-Schützen zeigt bereits, dass solche multimodalen Ansätze geeignet sind, Kraft, Kinematik, Muskelaktivierung und Stabilität gemeinsam zu untersuchen.
Damit wird aus der Draw-Force-Curve kein isoliertes Diagramm, sondern ein Bestandteil eines gekoppelten mechanisch-biologischen Modells.
Hunters'Best Interpretation
Die zweite Ableitung der Draw-Force-Curve eröffnet eine Analyseebene, die über die klassische Betrachtung von Zuggewicht und Kraftanstieg hinausgeht.
beschreibt die mechanische Last,
ihre lokale Änderungsrate und
die Veränderung dieser Änderungsrate.
Gerade dadurch wird die zweite Ableitung für die Analyse nichtlinearer Compound-Bögen interessant. Sie kann Bereiche zunehmender oder abnehmender mechanischer Steifigkeit charakterisieren, Übergänge zwischen unterschiedlichen Kraftregimen sichtbar machen und die Form von Peak, Let-off, Valley und Wall quantitativ beschreiben.
Besonders relevant ist die Erkenntnis, dass ein mechanischer Übergang nicht allein durch seine Kraftamplitude charakterisiert werden sollte. Zwei Bögen können dieselbe Peak Draw Weight und dieselbe Holding Force besitzen, aber aufgrund unterschiedlicher erster und zweiter Ableitungen ein deutlich unterschiedliches Widerstandsprofil erzeugen.
Für die Trainingswissenschaft folgt daraus ein erweitertes Verständnis von Belastung. Der Athlet interagiert nicht mit einem konstanten Gewicht, sondern mit einem positionsabhängigen, nichtlinearen mechanischen Widerstand. Die zweite Ableitung beschreibt dabei, wie stark sich die Charakteristik dieses Widerstands entlang des Bewegungsweges verändert.
Ihre größte Bedeutung liegt daher weniger in der isolierten Kennzahl als in der Verbindung mit anderen Messgrößen. Erst die Kombination aus Draw-Force-Curve, erster und zweiter Ableitung, Cam-Kinematik, Gelenkkinematik, Muskelaktivierung und Leistungsdaten erlaubt eine wirklich umfassende Bewertung.
Für die technische Analyse eines Compound-Bogens bedeutet dies: Nicht nur die Frage „Wie viel Kraft benötigt der Bogen?“ ist relevant, sondern ebenso „Wie verändert sich diese Kraft?“ und schließlich „Wie verändert sich die Geschwindigkeit, mit der sich diese Kraft verändert?“
Genau an diesem Punkt treffen sich Differentialrechnung, Maschinenbau, Bogenkonstruktion, Biomechanik und Trainingslehre.
Damit lässt sich ein grundlegendes Prinzip formulieren:
Die erste Ableitung beschreibt die Dynamik des Widerstands; die zweite Ableitung beschreibt die Veränderung dieser Dynamik.
Quellenliste
Tiermas, M. (2017). A model of the twin-cam compound bow with cam design options. Meccanica, 52, 421–429. Die Arbeit entwickelt ein mathematisches Modell des Twin-Cam-Systems und untersucht explizit den Einfluss der Cam-Geometrie auf die nichtlineare Force-Draw-Curve.
Tiermas, M. (2016). An advanced model of the round-wheel compound bow. Meccanica, 51, 1201–1207. Modellierung und experimentelle Validierung der Force-Draw-Curve eines Compound-Bogens.
Tiermas, M. (2017). The round-wheel compound bow model revisited: a new extension. Sports Engineering, 20, 155–162. Untersuchung der Form der Force-Draw-Curve, der Energiespeicherung und theoretischer Grenzen der Kurvengestaltung.
Tiermas, M. (2017). The limb deformation of the compound bow. Meccanica. Die Arbeit erweitert die Modellierung um realistischere elastische Wurfarmsverformung und untersucht deren Einfluss auf die Force-Draw-Curve.
Wu, T.-T. (2025). Biomechanical Analysis of Compound Bow Archers under Different Draw Forces. Untersuchung von Draw Force, oberer Extremitätenkinematik, EMG, Gleichgewicht und Schießleistung bei unterschiedlichen Zugkräften.
ASTM International. ASTM F1832 – Standard Test Method for Determining the Force-Draw and Let-Down Curves for Archery Bows. Relevanter Standard für die experimentelle Ermittlung von Force-Draw- und Let-down-Kurven.
